パブリックDNSの利点欠点はあるので、1つの対応案として受け取っていただくと幸いです。
ルータにしてもクライアントにしてもDNS等の接続関係キャッシュのフラッシュや切り替えは繋がらない時の簡単な一歩でもあるので、困ったときは色んな対応方法を準備しておくといいですからね。

CS機のあたりですが、ネット接続とDNS生死に直接的な関係ないです。
その理由はDNSの解説などのページを参照してください。
CS機独自サービスのエンドポイントはIPアドレス直の可能性もあり、なんとも言えません。最近のはWebサイト閲覧は直接、ゲームのオンライン接続はトンネリングと分かれていたりするので、どこのDNSが関係するかは何ともいえないですね。

いやー急いでたのと、記事にするつもりもなかったので、原因の特定よりも復帰を優先しちゃいましたねー。

でもコメントしていただいたので、今後同じ症状でハマった人が解決しなかった場合のヒントになると思います！！

この記事ではルータのことしか書かれていません　ISPとの接続は多分光回線と思いますがその部分（つまりMODEM部分）の挙動も書いていただけるともっと参考になると思います

11:24のコメントさんに対して
ISPのDNS設定で問題が出たとしてもgoogleのDNSサーバ設定をするのは一時的にするべきだと思います
もしISPに問題があったとしてもそのうち修正されると思いますのでISPを信頼して良いのでは？（googleが信頼できないと言っているわけではありません）
＞CS機は独自のネットワークサービスを・・・
DNSが問題ならそもそもトンネルするネットワークサービスにつながらないと思うのですが　それともCS機はインターネットを介していないのでしょうか

CS機は独自のネットワークサービスをトンネルして繋ぐのでそういうのが影響しなかった可能性。